ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式とは？緩衝液のpHの求め方と緩衝能

酢酸と酢酸ナトリウムを 0.10 mol/L ずつ含む溶液 100 mL に、1.0 mol/L の塩酸を 1.0 mL 加えます。pH は 4.76 から 4.67 へ、0.09 しか下がりません。同じ塩酸を純水 100 mL に加えると、pH は 7 から 2.00 まで、5 も下がります。加えた酸の量は同じなのに、なぜこれほど違うのでしょうか。

答えは、酢酸の溶液の pH が「濃度」ではなく、酢酸と酢酸イオンの濃度の比で決まっているからです。その関係を1行で書いたのがヘンダーソン・ハッセルバルヒの式（Henderson–Hasselbalch equation）です。

式は簡単でも、試験で点を落とすのは「緩衝能はなぜ pK_a ± 1 なのか」「なぜ薄めても pH が変わらないのか」「どんなときに式が使えないのか」を説明できないときです。この記事では、式を K_a の定義から組み立て、緩衝能の式、式が外れる条件、実際の緩衝液の作り方までを、すべて計算で確かめながらつなげます。

ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式とは

弱酸 HA を水に溶かすと、一部が電離して平衡になります。この平衡の定数が酸解離定数 K_a です。

HA + H2O ⇌ H3O+ + A−

Ka = [H3O+][A−] / [HA]

K_a の定義から1行で導ける

両辺の常用対数をとり、マイナスを付けて並べ替えるだけです。

−log Ka = −log [H3O+] − log ([A−] / [HA])

pKa = pH − log ([A−] / [HA])

pH = pKa + log ([A−] / [HA])        ← ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式

ここで大事なのは、この変形には近似が1つも入っていないことです。[A⁻] と [HA] が平衡に達したあとの本当の濃度なら、式はそのまま成り立ちます（厳密には濃度の代わりに活量を使います。後の節で扱います）。近似が入るのは、平衡の濃度の代わりに「溶かした酢酸と酢酸ナトリウムの濃度」をそのまま代入するところです。この区別が、後で「式が外れる条件」を考える土台になります。

比が10倍変わるごとに pH が1変わる

式が言っているのは、pH と pK_a の差が、共役塩基と酸の比の対数に等しいということです。代表的な値を並べると次のようになります。

pH − pKa	[A−] : [HA]	A− の割合
−2	1 : 100	1.0%
−1	1 : 10	9.1%
0	1 : 1	50%
+1	10 : 1	90.9%
+2	100 : 1	99.0%

[A⁻] = [HA] のとき log 1 = 0 なので pH = pK_a です。弱酸を強塩基で滴定したときの半当量点がちょうどこの状態で、実験で pK_a を求めるときに半当量点の pH を読むのはこのためです（pKa表の使い方でも同じ理由で説明しています）。逆に、pH が pK_a より2大きければ酸の99%が共役塩基の形です。カルボン酸を塩基性の水層に移す分液や、アミノ酸の電荷の計算（アミノ酸・ペプチド・タンパク質の記事の等電点の節）は、どれもこの表の読み方の応用です。

塩基の緩衝液も同じ式で書ける

アンモニアや Tris（トリス）のような弱塩基 B の緩衝液では、塩基 B とその共役酸 BH⁺ の組を「酸と共役塩基」と読み替えます。使う pK_a は共役酸 BH⁺ の pK_a です。

BH+ + H2O ⇌ H3O+ + B

pH = pKa(BH+) + log ([B] / [BH+])

例：NH4+ の pKa = 9.24、Tris の共役酸の pKa = 8.08（25 °C）

問題文で塩基の pK_b が与えられたときは、25 °C なら pK_a = 14.00 − pK_b で共役酸の値に直してから代入します（K_a × K_b = K_w から出る関係）。アミンの塩基性を共役酸の pK_a（pK_aH）で比べる考え方はアミン官能基の記事と同じです。

pK_a はギブズエネルギーの別の表し方

pK_a は、電離の標準ギブズエネルギー ΔG° を対数の目盛りで表したものでもあります。ΔG° = −RT ln K_a = 2.303RT pK_a なので、酢酸（pK_a 4.757）では 25 °C で ΔG° = 27.2 kJ/mol です。pK_a が1違うことは、ΔG° が 5.7 kJ/mol 違うことに相当します。K と ΔG° の関係そのものはギブズエネルギーの記事で扱います。

式の名前の由来

アメリカの Lawrence J. Henderson は1908年、American Journal of Physiology に、炭酸水素塩の緩衝液の水素イオン濃度を求める式を発表しました。翌1909年に Sørensen が pH という表し方を導入し、デンマークの Karl A. Hasselbalch が1916年に Biochemische Zeitschrift の論文で、Henderson の式を pH を使った対数の形に書き直しました。これが2人の名前で呼ばれる理由です。カタカナでは「ヘンダーソン・ハッセルバルク」と書かれることもありますが、指している式は同じです。

緩衝液が pH を保つしくみ

緩衝液（buffer solution）は、弱酸とその共役塩基（または弱塩基とその共役酸）を同程度の量ずつ含み、少量の酸・塩基を加えたり薄めたりしても pH がほとんど変わらない溶液です。冒頭の数字が、どこから来ているのかを順に見ます。

加えた酸は A⁻ が、加えた塩基は HA が受け止める

緩衝液に強酸を加えると、H₃O⁺ は溶液中に多量にある A⁻ と反応して HA に変わります。強塩基を加えると、OH⁻ は HA と反応して A⁻ に変わります。

H3O+ + A− → HA + H2O      K = 1 / Ka = 5.75 × 104   （酢酸の場合）
OH− + HA → A− + H2O        K = Ka / Kw = 1.74 × 109

どちらの平衡定数も非常に大きいので、加えた強酸・強塩基はほぼ完全に弱酸・共役塩基に置き換わります。強い酸が弱い酸に「格下げ」されるので、溶液中の H₃O⁺ はほとんど増えません。変わるのは [A⁻] と [HA] の比だけです。

冒頭の例で計算します。100 mL の溶液には酢酸と酢酸イオンが 0.010 mol ずつあり、塩酸 1.0 mL で H₃O⁺ が 0.0010 mol 入ります。これが酢酸イオンを同じ量だけ酢酸に変えるので、

A−：0.010 − 0.0010 = 0.0090 mol      HA：0.010 + 0.0010 = 0.0110 mol

pH = 4.76 + log (0.0090 / 0.0110) = 4.76 − 0.087 = 4.67

（純水 100 mL に加えた場合：[H3O+] = 0.0010 mol / 0.101 L = 9.9 × 10−3 mol/L → pH 2.00）

比は 1 から 0.82 に変わっただけで、その対数は −0.087 です。対数は比の変化を強く押しつぶすので、pH はわずかしか動きません。体積の変化（100 mL → 101 mL）は両方の濃度に同じようにかかるので、比には影響しません。そのため、物質量（mol）の比をそのまま式に入れてかまいません。電荷均衡から厳密に解いても pH は 4.673 で、式の値と小数第3位まで一致します。

なぜ「弱酸と共役塩基の両方」が必要なのか

酸を受け止めるのは A⁻、塩基を受け止めるのは HA なので、片方しか無い溶液は片方向にしか耐えられません。酢酸だけの溶液に塩酸を加えると、H₃O⁺ を受け取る相手がいないので pH はそのまま下がります。

では、強酸とその共役塩基、たとえば HCl と NaCl の組ではどうでしょうか。Cl⁻ は塩基として働かない（HCl の K_a が大きすぎて、H₃O⁺ + Cl⁻ → HCl が進まない）ので、加えた H₃O⁺ を受け止められません。緩衝液に使えるのは、目的の pH 付近で HA と A⁻ がどちらも多量に存在できる組、つまり pK_a が目的の pH に近い弱酸です。

希釈しても pH がほとんど変わらない理由

緩衝液を水で10倍に薄めると、[HA] も [A⁻] も同じく10分の1になります。比 [A⁻]/[HA] は変わらないので、式の上では pH はまったく変わりません。比較のために、ほかの溶液を10倍に薄めたときの pH を並べます。

溶液	薄める前	10倍に薄めた後	pH が決まるもの
塩酸 0.10 mol/L	1.00	2.00	[H3O+] = 濃度そのもの
酢酸 0.10 mol/L	2.88	3.39	[H3O+] ≈ √(KaC)。濃度の平方根
酢酸 0.10 + 酢酸ナトリウム 0.10 mol/L	4.76	4.76	比 [A−]/[HA]。濃度によらない

強酸は濃度そのもの、弱酸だけの溶液は濃度の平方根で pH が決まるので、どちらも薄めると pH が動きます。緩衝液だけが「比」で決まるので動きません（表の値は活量を無視した計算。活量まで入れると緩衝液も少し動きます。後の節で扱います）。この性質は、反応機構を調べる実験にも使われています。酸触媒と塩基触媒の記事で扱う「緩衝液の希釈実験」は、比を保ったまま緩衝液の濃度だけを変える（イオン強度は KCl などで一定に保つ）ことで、pH を一定にしたまま [HA] と [A⁻]（緩衝液の濃度）だけを動かし、一般酸（塩基）触媒と特異酸（塩基）触媒を見分けます。

滴定曲線で見る緩衝領域と半当量点

緩衝液の性質は、弱酸を強塩基で滴定した曲線に全部表れています。図1は、0.100 mol/L の酢酸 25.00 mL を 0.100 mol/L の水酸化ナトリウム水溶液で滴定したときの pH を、電荷均衡と物質収支の式から厳密に計算したもの（実線）と、ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式で計算したもの（破線）です。

NaOH を V mL 加えた点では、酢酸イオンが 0.100 × V mmol、残った酢酸が 0.100 × (25 − V) mmol あるので、式は pH = pK_a + log [V / (25 − V)] になります。図から読み取れることは3つです。

• 緩衝領域では曲線が平ら：比が 1/10 から 10 の間（V = 2.27〜22.7 mL）は、加える量の約8割にわたって pH が 3.76 から 5.76 へ2しか変わらない
• 半当量点（12.50 mL）で傾きが最小：pH = pK_a = 4.76 の点で曲線がいちばん平らになる。後で見るように、ここで緩衝能が最大になる
• 式が外れるのは両端だけ：開始点では A⁻ がほぼ 0 で log が −∞ に、当量点では HA がほぼ 0 で +∞ に飛ぶ。実際の pH は、開始点では酢酸自身の電離（2.88）、当量点では酢酸イオンが塩基として水から H⁺ を受け取る反応（8.73）で決まる

当量点の pH が7ではなく 8.73 になるのは、酢酸イオンが弱い塩基だからです。半当量点（pH = pK_a）と当量点（中和の終わり）を取り違えないようにしてください。滴定曲線から pK_a を決める方法はpKa表の使い方の「pKaの求め方」の節にまとめています。

緩衝能：どれだけの酸・塩基に耐えられるか

緩衝能の定義

「どれだけ pH を保てるか」を数で表したのが緩衝能（buffer capacity）β です。1 L あたりに強塩基を dC_b mol 加えたときの pH の変化 dpH で定義します（強酸なら符号を逆にします）。

β = dCb / dpH = −dCa / dpH        （単位：mol L−1、pH 1 あたり）

β が大きいほど、pH を1動かすのに多くの酸・塩基が要ります。滴定曲線の傾き（dpH/dV）の逆数にほぼ比例する量（滴定による希釈を無視すれば比例）なので、図1で曲線がいちばん平らな半当量点が、β がいちばん大きい点です。

緩衝能の式とその導き方

酢酸と酢酸イオンの合計濃度を C とし、強塩基（NaOH）を C_b mol/L 加えた溶液を考えます。溶液は電気的に中性なので、陽イオンと陰イオンの電荷はつり合っています（電荷均衡）。

[Na+] + [H+] = [A−] + [OH−]

Cb = C Ka / (Ka + [H+]) + Kw / [H+] − [H+]

d[H+] / dpH = −2.303 [H+] を使って pH で微分すると

β = 2.303 ( [H+] + Kw / [H+] + C Ka [H+] / (Ka + [H+])2 )

3つの項の意味ははっきりしています。[H⁺] の項と K_w/[H⁺] の項は水そのもの（強酸・強塩基が多量にある状態）の寄与で、pH 3 以下や 11 以上で効いてきます。緩衝液としての働きは3つ目の項で、これは緩衝液の濃度 C に比例します。

pK_a ± 1 が「使える範囲」になる理由

3つ目の項は、[H⁺] = K_a、つまり pH = pK_a のときに最大で、値は C/4 になります。したがって緩衝能の最大値は β_max = 2.303 × C / 4 = 0.576C です。比 [A⁻]/[HA] を r とおくと、緩衝能の項は C × r/(1 + r)² と書けるので、最大値に対する割合を計算できます。

pH と pKa の差	0	±0.5	±1	±1.5	±2
緩衝能（最大値に対する割合）	100%	73%	33%	12%	3.9%

pK_a ± 1 で緩衝能は最大の約3分の1になり、それより外では急に小さくなります。Harvey の教科書が緩衝液の有効範囲を pK_a ± 1（比が 1/10〜10/1）としているのは、この落ち方に対応しています。直感的には、比が 10 : 1 の緩衝液では少ない方の成分が全体の 9% しかなく、それに相当する量の酸を加えただけで尽きてしまうからです。少ない方の成分が尽きると、もう「受け止める相手」がいません。

冒頭の例で確かめておきます。酢酸と酢酸イオンの合計は C = 0.20 mol/L、pH = pK_a なので β = 2.303 × 0.20 / 4 = 0.115 mol/L です。加えた塩酸は 0.0099 mol/L なので、ΔpH ≈ 0.0099 / 0.115 = 0.086 と見積もれ、比から計算した 0.087 とよく合います。

濃度は緩衝能を決め、比は pH を決める

図2の2本の曲線のように、緩衝液の濃度を半分にすると緩衝能も半分になりますが、pH（ピークの位置）は変わりません。pH を決めるのは比、どれだけ耐えるかを決めるのは濃度、と役割が分かれています。強い緩衝が必要なら濃度を上げればよいのですが、Harvey の教科書が注意しているように、濃度を上げすぎると沈殿ができたり、生体試料に悪影響が出たりすることがあります。

ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式が外れる条件

式は厳密、ずれるのは「調製した濃度」を入れるところ

導出の節で見たとおり、式そのものは K_a の定義を書き直しただけです。ずれるのは、平衡の [A⁻] と [HA] の代わりに、調製した濃度 C_A（酢酸ナトリウム）と C_HA（酢酸）を代入するところです。電荷均衡と物質収支から、平衡の濃度は次のように書けます。

[A−] = CA + [H+] − [OH−]
[HA]  = CHA − [H+] + [OH−]

pH = pKa + log ( (CA + [H+] − [OH−]) / (CHA − [H+] + [OH−]) )   ← 厳密な式

HA が自分で電離すると、その分だけ HA が減って A⁻ が増えます（[H⁺] の項）。A⁻ が水から H⁺ を受け取ると、その分だけ逆になります（[OH⁻] の項）。[H⁺] と [OH⁻] が C_A と C_HA に比べて無視できるときだけ、ふつうのヘンダーソン・ハッセルバルヒの式になります。Harvey の教科書も、HA と A⁻ の濃度が大きく同程度で、pK_a が7に近いほど誤差が小さいとし、仮定を必ず確かめるよう書いています。

pK_a が小さい酸は、濃くても外れる

pK_a が3を下回るような酸では、緩衝液の [H⁺] そのものが 10⁻³ mol/L 程度以上になり、C に比べて無視できなくなります。リン酸の第一段（pK_a 2.15）で、リン酸とリン酸二水素ナトリウムを 0.010 mol/L ずつ含む溶液を考えます。

式に調製濃度をそのまま入れると：pH = 2.15 + log (0.010 / 0.010) = 2.15

厳密に解くと（[H+] = x として Ka = x(0.010 + x) / (0.010 − x)、Ka = 7.11 × 10−3）
x = 3.46 × 10−3 mol/L   →   pH = 2.46

平衡の濃度：[H2PO4−] = 0.0135、[H3PO4] = 0.0065 mol/L（比は 1 ではなく 2.1）

リン酸が自分で電離して、1:1 で混ぜたはずの比が 2:1 まで崩れています。pH にして 0.31 のずれです。逆に pK_a が11を超えるような組では、[OH⁻] の項で同じことが起こります。

薄めすぎると pH は 7 に近づく

希釈で比が変わらないのは、[H⁺] と [OH⁻] が C に比べて無視できる間だけです。図3は、1:1 の緩衝液をどこまで薄めると式が外れるかを、厳密な式で計算したものです。

酢酸の緩衝液は、各成分が 10⁻³ mol/L まで薄めても pH 4.77 と、式の値からほとんど動きません。ところが 10⁻⁴ mol/L で 4.88、10⁻⁵ mol/L で 5.27、10⁻⁶ mol/L で 6.04 と、水の pH 7 に向かって上がっていきます。薄まった緩衝液の中では、酢酸自身の電離や水の電離で生じる H⁺・OH⁻ が、緩衝液の成分と同じくらいの量になるからです。「緩衝液は薄めても pH が変わらない」は、緩衝液の濃度が [H⁺] より十分大きい間だけの話です。

なお、計算に使った水のイオン積は K_w = 1.0 × 10⁻¹⁴（25 °C）です（Harvey によれば 1.008 × 10⁻¹⁴ で、1.00 × 10⁻¹⁴ と見なしても誤差は無視できます）。水の pK_a を 15.7 とする表と 14.0 とする表があるのは、K_w を水のモル濃度 55.5 mol/L で割るかどうかの違いと一致し（14.00 + log 55.5 = 15.74）、熱力学の約束（溶媒の活量を1とする）に従えば 14.0 になります（Silverstein と Heller の J. Chem. Educ. 2017 の論説）。どちらの表を使っても、緩衝液の計算に出てくる K_w は同じです。表の値の違いはpKa表の使い方の「数値の出典による幅について」で触れています。

イオン強度：濃い緩衝液の実測 pH が式より低く出る理由

ここまでの計算は、濃度で書いた K_a を使いました。しかし平衡定数の表の値（イオン強度0の値）は本来活量で定義されていて、pH メーターが測るのも水素イオンの活量です（pH = −log a_H⁺）。ガラス電極の電位は、ネルンストの式に従って水素イオンの活量の対数に比例し、25 °C では pH 1 あたり 59.16 mV（2.303RT/F）変わります（ネルンストの式の記事）。活量を入れると、式は次のように変わります。

pH = pKa + log ( γA[A−] / γHA[HA] )      γ：活量係数

イオン強度 I = ½ Σ ci zi2
Davies の式（25 °C）：log γ = −0.51 z2 ( √I / (1 + √I) − 0.3 I )

イオンのまわりには反対符号のイオンが集まり、イオンの「実際に働く濃度」を下げます。電荷を持たない HA の γ はほぼ1ですが、A⁻ の γ は1より小さくなるので、実際の pH は式の値より低く出ます。Davies の式で見積もると次のとおりです。

• 酢酸 0.10 + 酢酸ナトリウム 0.10 mol/L（I = 0.10）：log γ = −0.107 なので、pH ≈ 4.76 − 0.11 = 4.65。10倍に薄めると I = 0.010 で 4.72 になる。酢酸のように HA が中性で A⁻ が陰イオンの組では、緩衝液を薄めると pH がわずかに上がる。比ではなく活量係数が変わるため（Tris 型の組では逆に下がる。下の段落）
• リン酸二水素イオン／リン酸水素イオン（H₂PO₄⁻／HPO₄²⁻）：電荷が −1 と −2 なので、ずれは z² の差（4 − 1 = 3）倍に大きくなる。KH₂PO₄ と Na₂HPO₄ を 0.025 mol/L ずつ含む溶液（I = 0.10）では、pH ≈ 7.20 − 3 × 0.107 = 6.88

2つ目の組成は、pH メーターの校正に使う中性リン酸塩 pH 標準液とほぼ同じです（0.025 mol/kg ずつ）。この標準液の pH は 6.865（25 °C）と定められていて、国内でも「中性りん酸塩 pH 標準液 pH 6.86」として市販されています。ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式で濃度だけから計算すると 7.20 なので、0.3 以上ずれます。活量で補正した見積もり（6.88）のほうが、実際の値にずっと近いのです。

逆向きのずれもあります。Tris や NH₄⁺ のように、酸の側（BH⁺）が電荷を持ち、塩基の側（B）が中性の組では、γ が小さくなるのは分母の側なので、実際の pH は式の値より高く出ます。どちらに、どれだけずれるかは、酸と共役塩基の電荷の組み合わせで決まります。

多段階に電離する酸

リン酸（pK_a 2.15、7.20、12.35）のように段ごとの pK_a が十分離れていれば、それぞれの段を独立した1組の酸・共役塩基として式を使えます（目安は連続する pK_a が3以上離れていること）。クエン酸（3.13、4.76、6.40）のように近い場合は、3つの平衡が同時に効くので、1組ごとの式では正確に計算できず、すべての平衡を連立させて解く必要があります。そのかわり、クエン酸は pH 2〜7 付近の広い範囲で緩衝作用を示します。

緩衝液の選び方と作り方

緩衝液を選ぶ第一の基準は、pK_a が目的の pH に近い（±1 以内、できれば ±0.5 以内）ことです。よく使う組を、25 °C・イオン強度0の pK_a（Harvey の付録の表）で並べます。

緩衝液（酸／共役塩基）	pKa（25 °C）	使える pH の目安	注意
酢酸／酢酸イオン	4.76	3.8〜5.8	一塩基酸なので計算が素直
クエン酸の各段	3.13、4.76、6.40	約2〜7	pKa が近く、1組の式では計算できない
H2PO4−／HPO42−	7.20	6.2〜8.2	イオン強度による pH のずれが大きい
Tris の共役酸／Tris	8.08	7.1〜9.1	温度で pH が大きく変わる
NH4+／NH3	9.24	8.2〜10.2	NH3 が揮発する
HCO3−／CO32−	10.33	9.3〜11.3	空気中の CO2 を吸う

実際の調製は、計算で比を決めて近くまで作り、最後に使う温度で pH メーターを見ながら強酸か強塩基を少しずつ加えて合わせます。Harvey の教科書も、共役酸・塩基の溶液の pH を測り、強酸・強塩基を少量ずつ加えて合わせる方法を最も簡単な作り方として挙げています。計算だけで終えないのは、ここまで見た活量のずれと、次に見る温度のずれがあるからです。

酢酸緩衝液（pH 5.00、0.100 mol/L）

比は 10^{(5.00 − 4.76)} = 1.74 なので、合計 0.100 mol/L を 1.74 : 1 に分けて、酢酸イオン 0.0635 mol/L、酢酸 0.0365 mol/L にします。1 L なら、酢酸ナトリウム三水和物（CH₃COONa·3H₂O、136.08 g/mol）8.64 g と酢酸（60.05 g/mol）2.19 g です。別の作り方として、酢酸 0.100 mol に 1.00 mol/L の水酸化ナトリウム水溶液を 63.5 mL 加えて 1 L にしても、同じ組成になります（OH⁻ が酢酸の一部を酢酸イオンに変えるため）。

リン酸緩衝液（pH 7.40、0.100 mol/L）

第二段の pK_a（7.199。表では丸めて 7.20）を使います。比は 10^{(7.40 − 7.199)} = 1.589 で、HPO₄²⁻ 0.06137 mol/L、H₂PO₄⁻ 0.03863 mol/L です。1 L なら無水 Na₂HPO₄（141.96 g/mol）8.712 g と無水 NaH₂PO₄（119.98 g/mol）4.635 g になります。ただし、この溶液はイオン強度が 0.2 程度あり、前の節で見たとおり、実際の pH は 7.40 よりかなり低く出ます。リン酸塩は水和物（Na₂HPO₄·12H₂O など）で売られていることも多いので、瓶のラベルの化学式でモル質量を計算し直すこと、最後は pH メーターで合わせることが欠かせません。

Tris–塩酸緩衝液（pH 8.00、25 °C）と温度

Tris（トリス（ヒドロキシメチル）アミノメタン、121.14 g/mol）は塩基なので、塩酸で一部を共役酸に変えて作ります。Tris 0.0500 mol（6.06 g）に 1.00 mol/L 塩酸を x L 加えると、[B]/[BH⁺] = (0.0500 − x)/x です。これを 10^{(8.00 − 8.075)} = 0.841 に等しくおくと x = 0.0272 mol、つまり塩酸 27.2 mL を加えて 1 L にします。SDS-PAGE のゲルの緩衝液に塩酸で pH を合わせた Tris を使うのも、この組み合わせです（電気泳動の記事）。

Tris には大きな弱点があります。pK_a の温度変化が大きく、pH の温度係数は約 −0.028 /K です。25 °C で pH 8.00 に合わせた溶液は、4 °C の冷蔵室では 8.00 + 0.028 × 21 ≈ 8.59、37 °C では 7.66 になります。温度で平衡定数が変わる大きさは電離のエンタルピー ΔH° で決まり（ファントホッフの式 dln K/dT = ΔH°/RT²）、−0.028 /K から逆算すると Tris の共役酸の電離の ΔH° は約 48 kJ/mol になります。Tris の緩衝液を「使う温度で」合わせるのはこのためです。平衡定数の温度依存そのものはファントホッフの式の記事で扱います。

計算例

例題の濃度・体積は計算練習用の値です。pK_a は酢酸 4.76、リン酸 2.15・7.20、Tris 8.08（例題5では 8.075）、温度は 25 °C とし、活量は無視します。pH の小数点以下の桁数と有効数字の関係は有効数字の記事を参照してください。

例題1（混合液の pH）：0.20 mol/L の酢酸 50.0 mL と 0.10 mol/L の酢酸ナトリウム水溶液 50.0 mL を混ぜた。pH はいくらか。

例題2（弱酸を一部中和してできる緩衝液）：0.100 mol/L の酢酸 25.0 mL に、0.100 mol/L の水酸化ナトリウム水溶液を 10.0 mL 加えた。pH はいくらか。

例題3（比が偏った緩衝液の弱さ）：(a) 酢酸 0.100 mol/L と酢酸ナトリウム 0.010 mol/L、(b) どちらも 0.055 mol/L の2つの緩衝液がある（合計濃度はどちらも 0.110 mol/L）。それぞれに塩酸を 0.0050 mol/L 相当加えると、pH はどれだけ変わるか（体積変化は無視）。

例題4（リン酸緩衝液の調製）：pH 7.40、合計濃度 0.100 mol/L のリン酸緩衝液を、無水 Na₂HPO₄ と無水 NaH₂PO₄ で 1.00 L 作りたい。それぞれ何 g 量りとるか。

例題5（Tris–塩酸緩衝液と温度）：Tris 0.0500 mol を水に溶かし、1.00 mol/L 塩酸を加えて全量 1.00 L、25 °C で pH 8.00 にしたい。塩酸を何 mL 加えるか。また、この緩衝液を 4 °C で使うと pH はおよそいくらになるか（pK_a 8.075、pH の温度係数 −0.028 /K）。

例題6（式が外れる場合）：リン酸 0.010 mol/L とリン酸二水素ナトリウム 0.010 mol/L を含む溶液の pH を、(a) ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式、(b) リン酸自身の電離を考えた式で求め、比べよ（K_a1 = 7.11 × 10⁻³）。

よくある間違い

1つ目は、緩衝液のしくみを理解しているかどうかが最も表れる間違いです。加えた H₃O⁺ はまず A⁻ と反応して消えるので、計算は「反応後の HA と A⁻ の物質量」を出してから式に入れる順番になります。加えた量が A⁻ の量を超えたら、もう緩衝液ではなく、余った強酸の濃度で pH が決まります。

2つ目は、比をとれば体積が打ち消し合うことの裏返しです。打ち消し合うのは「混合後の同じ溶液の中の」濃度どうしだけで、混ぜる前の別々の溶液の濃度の比には意味がありません。物質量で比べれば間違えません。

3つ目は、式の pK_a が「緩衝液の中の酸の側」の値だと押さえておけば防げます。NH₃ の pK_b 4.76 を入れると、pH が 4〜5 という明らかに酸性の答えが出るので、答えの妥当性からも気づけます。

試験での問われ方

大学の分析化学・物理化学・生化学の試験や院試では、ヘンダーソン・ハッセルバルヒの式は次のような形で出題されます。

• pH の計算：緩衝液の混合、弱酸の部分中和、強酸・強塩基を加えたあとの pH（例題1〜3）
• 調製：目的の pH の緩衝液を作るための比・質量・加える酸の量（例題4・5）
• 導出と説明：K_a から式を導き、緩衝作用・希釈しても pH が変わらない理由を説明する
• 緩衝能：緩衝能が最大になる条件と、有効範囲が pK_a ± 1 になる理由。滴定曲線の平らな部分との関係
• 近似の限界：pK_a が端にある酸・薄い溶液で式が使えない理由を、電荷均衡から説明する（例題6）
• 応用：アミノ酸の電荷と等電点、分液での pH の選び方、薬の吸収（電荷を持たない形の割合）。pH で粒子の表面電荷がどう変わるかはゼータ電位の記事で扱っています

まとめ

緩衝液の pH が「比」で決まるという1点を押さえれば、酸を加えても薄めても pH が動かない理由も、緩衝能が pK_a で最大になる理由も、薄すぎる・酸が強すぎると式が外れる理由も、同じ筋で説明できます。式を暗記するより、K_a の式から1行で導けることを覚えておくほうが、試験でも実験でも役に立ちます。

よくある質問

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参考文献

• D. Harvey, Analytical Chemistry 2.1（LibreTexts）：§6.4（K_w）、§6.8 Buffer Solutions、§6.9 Activity Effects、Appendix “Acid Dissociation Constants”（25 °C・イオン強度0。原典は A. E. Martell, R. M. Smith, Critical Stability Constants, Plenum, 1976）
• L. J. Henderson, “Concerning the relationship between the strength of acids and their capacity to preserve neutrality”, Am. J. Physiol. 1908, 21, 173.
• K. A. Hasselbalch, Biochem. Z. 1916, 78, 112.
• T. P. Silverstein, S. T. Heller, “pK_a Values in the Undergraduate Curriculum: What Is the Real pK_a of Water?”, J. Chem. Educ. 2017, 94, 690.
• C. W. Davies, Ion Association, Butterworths, 1962（Davies の式）
• R. P. Buck et al., “Measurement of pH. Definition, standards, and procedures (IUPAC Recommendations 2002)”, Pure Appl. Chem. 2002, 74, 2169（pH 標準液）