生化学の分野では、ミカエリスーメンテン動力学は酵素動力学の最も有名なモデルの一つである。ドイツの生化学者Leonor Michaelisとカナダの医師Maud Mentenにちなんで命名された。このモデルは、反応速度\(v\)(生成物の生成速度\([P]\))と基質Sの濃度\([S]\)を関連付けることによって酵素反応の速度を記述する方程式形式となり、次の式によって示される。
\[v=\frac{d[P]}{dt}=V_{max}\frac{[S]}{K_m+[S]}\]
この式はミカエリスーメンテンの式と呼ばれる。ここで、\(V_{max}\)は、与えられた酵素濃度に対して、基質濃度が飽和したときに起こる、系が達成する最大速度を表します。また、ミカエリス定数\(K_m\)の値が数値的に基質濃度と等しい場合、反応速度は\(V_{max}\)の半分となります。単一の基質が関与する生化学反応は、モデルの基礎となる仮定を無視して、しばしばミカエリス・メンテン動力学に従うと仮定される。
式の導出
酵素反応は(1)式で表される。
\[S\stackrel{v}{\longrightarrow}P\tag{1}\]
その反応速度\(v\)は、単位時間あたりに生成する生成物濃度、あるいは単位時間あたりに変換されて消費される基質濃度で表される。
\[v=\frac{d[P]}{dt}=-\frac{d[S]}{dt}\tag{2}\]
ここで酵素反応を詳細にみると、(3)式のように、反応の進行中で酵素－基質複合体を形成する。
\[E+S\mathop{\rightleftharpoons}^{k_{+1}}_{k_{-1}}ES\stackrel{k_{+2}}{\longrightarrow}E+P\tag{3}\]
\(ES\)の生成速度は\(k_{+1}[E][S]\)で、\(ES\)の分解速度は\((k_{-1}+k_{+2})[ES]\)である。また、\(ES\)の正味の生成速度\(d[ES]/dt\)は、\(ES\)の生成速度から分解速度を差し引いたものであり、(4)式で表せる。
\[\frac{d[ES]}{dt}=k_{+1}[E][S]-(k_{-1}+k_{+2})[ES]\tag{4}\]
\([ES]\)について、定常状態\(d[ES]/dt=0\)を考えると、
\{k_{+1}[E][S]=(k_{-1}+k_{+2})[ES]\tag{5}\}
である。したがって、
\[\frac{[E][S]}{[ES]}=\frac{k_{-1}+k_{+2}}{k_{+1}}=K_m\tag{6}\]
となる。前述の通り、\(K_m\)はミカエリス定数と呼ばれ、酵素と基質の親和性を表す指標である。\(K_m\)が小さいほど、\(k_{+1}\)が大きいと考えられるから、酵素と基質は複合体を形成しやすい。すなわち、酵素と基質の親和性が高い。
ここで、最初に添加した酵素濃度を\([E]_0\)とすると、\([E]\)は次式で表される。
\[[E]=[E]_0-[ES]\tag{7}\]
(7)式を(6)式に代入し、\([ES]\)について整理すると、
\[[ES]=\frac{[E]_0[S]}{K_m+[S]}\tag{8}\]
となる。基質濃度が高くて全酵素が\(ES\)となる定常状態になれば、(3)式の第二段階反応が律速段階となるため、全体の反応速度\(v\)は次式で表される。
\[v=\frac{d[P]}{dt}=k_{+2}[ES]\tag{9}\]
(8)式を(9)式に代入すると、
\[v=k_{+2}[ES]=\frac{k_{+2}[E]_0[S]}{K_m+[S]}=\frac{V_{max}[S]}{K_m+[S]}\tag{10}\]
が与えられる。以上より、ミカエリス－メンテンの式が導出された。
歴史
1901年、フランスの物理化学者Victor Henriは、酵素反応が酵素と基質の間の結合（より一般的には結合相互作用）によって開始されることを発見した。彼の研究は、ドイツの生化学者Leonor Michaelisとカナダの医師Maud Mentenによって引き継がれ、ショ糖をブドウ糖と果糖に加水分解する酵素反応機構、invertaseについて速度論を研究することとなった。酵素Eが基質Sと結合して複合体ESを形成し、これが生成物Pを放出して元の酵素を再生するというものである。これは次のように模式的に表すことができる。
\[E+S\mathop{\rightleftharpoons}^{k_{+1}}_{k_{-1}}ES\stackrel{k_{+2}}{\longrightarrow}E+P\]
酵素濃度が基質濃度よりずっと低いなど、ある種の仮定のもとでは、生成物の生成速度は次式で与えられる。
\[v=\frac{d[P]}{dt}=V_{max}\frac{[S]}{K_m+[S]}=k_{cat}[E]_0\frac{[S]}{K_m+[S]}\]
反応順序は分母の2つの項の相対的な大きさに依存する。基質濃度\([S]\)が低くて\([S] \ll K_m\)のとき、反応速度\(v=k_{cat}[E]_0\frac{[S]}{K_m}\)は基質濃度\([S]\)に対して直線的に変化する（一次反応速度論）。しかし、基質濃度が高く[S]が\([S] \gg K_m\)となると、反応速度は\([S]\)に依存しなくなり(0次速度論)、最大速度\(V_{max}=k_{cat}[E]_0\)に漸近する\([E]_0\)は初期の酵素濃度である。この速度はすべての酵素が基質と結合したときに達成される。回転数 \(k_{cat}\) は、1秒間に1個の酵素分子あたりで生成物に変換される基質分子の最大数である。基質をさらに加えても速度が上がらず、飽和していると言われる。
ミカエリス定数\(K_m\)は反応速度が半値となる\([S]\)に数値的に等しく、酵素に対する基質の親和性の指標となる。\(K_m\)が小さいと親和性が高く、\(K_m\)が大きい反応よりも\([S]\)が小さくても\(V_{max}\)に近づくことを意味する。この定数は酵素の濃度や純度には影響されない。\(K_m\) の値は、酵素と基質の同一性、および温度やpH などの条件に依存する。
このモデルは、抗原抗体結合、DNA-DNA ハイブリダイゼーション、タンパク質-タンパク質相互作用など、酵素-基質相互作用以外の様々な生化学的状況で使用されている。 この形式の経験式を微生物増殖に適用する場合、Monod equation と呼ぶことがある。
