科学や工学の世界では、数多くの概念や現象を理解し、解析するために「無次元数」が用いられます。無次元数とは、物理的な次元（例えば、長さ、質量、時間）を持たない数値であり、異なる単位系やスケールでの現象を比較・解析するための強力なツールです。これらの数値は、流体力学、熱力学、材料科学など、さまざまな分野で重要な役割を果たしています。
無次元数の利点は、物理現象を単純化し、普遍的な法則を導き出すことができる点にあります。例えば、レイノルズ数は流体の流れの状態（層流や乱流）を示す無次元数であり、これを用いることで異なる条件下での流れを統一的に理解することができます。本記事では、代表的な無次元数の定義やその応用例を紹介し、これらがどのようにして科学技術の発展に寄与しているかを解説します。
さあ、無次元数の世界に足を踏み入れ、その魅力と実用性を探求してみましょう。
無次元数とは？
無次元数の定義
無次元数（むじげんすう）は、物理量の比率や関係を示すもので、特定の単位を持たず、数値そのものが重要な意味を持つ数値のことを指します。無次元数は、物理的な次元（長さ、質量、時間、電流など）を持たないため、異なる単位系やスケールでの現象を比較・解析する際に便利です。
物理量の比率や関係を表す数値であり、特定の物理的な単位を持たない数値
無次元数の歴史
無次元数の概念は、物理学や工学において重要な役割を果たしてきました。その歴史をたどると、多くの偉大な科学者たちがこの概念を発展させてきたことがわかります。以下に、無次元数の歴史的な発展の主要なポイントを示します。
18世紀
無次元数の概念は、実際には古代の数学や物理学にまでさかのぼりますが、体系的な理解が進んだのは18世紀以降です。
レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler) は、数学的な定式化において、次元解析の基礎を築きました。オイラーの方程式は流体力学の基本方程式であり、次元解析の一部として無次元数の概念が使われるようになりました。
19世紀
ジョゼフ・フーリエ (Joseph Fourier) は、熱伝導の研究において無次元数を用いました。彼の熱伝導方程式は、無次元数の初期の応用例の一つです。
ジョージ・ガブリエル・ストークス (George Gabriel Stokes) は、流体力学においてストークス方程式を導入し、これに関連する無次元数の概念を発展させました。
20世紀
レイノルズ数 (Reynolds Number) の導入：オズボーン・レイノルズ (Osborne Reynolds) は、1883年にレイノルズ数を導入し、層流と乱流の遷移を説明しました。これは無次元数の重要性を示す典型的な例です。
プラントル数 (Prandtl Number) の導入：ルートヴィヒ・プラントル (Ludwig Prandtl) は、20世紀初頭に境界層理論を発展させ、プラントル数を導入しました。これにより、流体の熱伝導特性を解析するための重要な無次元数が確立されました。
バッキンガムのπ定理 (Buckingham π theorem)：1914年、エドガー・バッキンガム (Edgar Buckingham) は、次元解析の一般理論としてπ定理を提唱しました。これにより、物理方程式を無次元数の形式で表現する方法が体系化されました。
～現在
無次元数は、現代の科学技術においてますます重要な役割を果たしています。例えば、ナノテクノロジーや生体工学、環境工学などの分野では、無次元数を用いてシステムの特性をスケールアップまたはスケールダウンすることが一般的です。
コンピュータシミュレーションと無次元数：数値シミュレーションの発展により、無次元数はシミュレーションの結果を解析し、実験データと比較するための標準的な手法として用いられています。
無次元数一覧
力学
反発係数 e
2物体における、衝突前の近づく速さと衝突後の遠ざかる速さの比
流体力学
ヌッセルト数 Nu
熱伝導を基準として測った熱流束
\[
Nu = \frac{\alpha L}{\lambda_1}
\]
α：流体の熱伝達率 [J / (m2 s K)]
L：代表長さ [m]
λ：流体の熱伝導率 [J / (m s K)]
プラントル数 Pr
運動量と熱の拡散のしやすさの比
\[
Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{\eta c_p}{k}
\]
ν = η/ρ : 動粘度
α = k/(ρcp) : 温度拡散率
η : 粘度 [Pa s]
k : 熱伝導率 [J s-1m-1K-1]
ρ : 密度 [kg m-3]
cp : 比熱 [J kg-1K-1]
レイノズル数 Re
ある境界面をもって流れる流体、あるいは流体中を運動する物体にはたらく慣性力と摩擦力の比
\[
Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{v L}{\nu}
\]
\(v\)： 物体の流れに対する相対的な平均速度 [m/s]
\(L\)： 特性長さ（流体の流れた距離など） [m]
\(\mu\)： 流体の粘性係数 [Pa·s 、 N·s/m² 、 kg/(m·s)]
\(\nu\)： 動粘性係数 (ν = μ/ρ) [m²/s]
\(\rho\)： 流体の密度 [kg/m³]
材料工学
ゾンマーフェルト数
潤滑工学において軸受性能を評価するために使用される無次元数
\[
S=\frac{\eta n}{P}\left(\frac{r}{c}\right)^2
\]
ポアソン比
物体に弾性限界内で応力を加えたとき、応力と垂直方向に発生するひずみと応力と平行方向に発生するひずみの比
電磁気学
比誘電率
真空中の誘電率に対する物質の誘電率の比
比誘磁率
真空の透磁率に対する物質の透磁率の比
電気感受率
電場が印加されたときに物質中に誘起される分極の大きさ
磁化率
外部磁場が印加されたときに物質中に誘起される磁化の大きさ
素粒子物理学
微細構造定数
光学
屈折率
アッベ数
振動子強度
通信工学
アーラン
SN比
化学
八田数 Ha
気液接触系で、気相内成分が液体に吸収されるとき、化学反応を伴う場合の吸収速度と伴わない場合の吸収速度の比
チーレ数 φ
触媒粒子内における反応速度と拡散速度の比
シャーウッド数 Sh
分子拡散を基準として測った物質流束
シュミット数 Sc
運動量と物質の拡散のしやすさの比